Împărtășiți articolul:

Calcularea centrului maselor - cu exemple

Calcularea centrului maselor este un pas important în cazul multor aplicații din ingineria mecanică și din proiectarea utilajelor și componentelor. Centrul maselor indică punctul unde este concentrată greutatea unui corp și astfel permite determinarea forțelor și momentelor din sistem. Acest articol explorează elementele de bază ale calculării centrului maselor și oferă câteva exemple din lumea reală.

Care este centrul maselor?

Centrul maselor sau centrul de greutate reprezintă locul unde este concentrată întreaga greutate a unui corp. Acesta este determinat de locația tuturor maselor individuale din cadrul sistemului și de distanțele acestora până la punctul de origine.

Centrul maselor este „punctul de atac” al gravitației. Obiectul se comportă ca o masă punctiformă în câmpul gravitațional.

Important - centrul maselor poate fi, de asemenea, în afara corpului. De exemplu, pe cochilii emisferice. Un cuplu de torsiune este ineficient atunci când este exercitat la centrul de greutate.

În cazul corpurilor omogene (adică, densitatea egală pretutindeni), centrul maselor corespunde centrului geometric de greutate (centrul de volum) - aceste corpuri sunt așa-numitele mase individuale banale. Centrul de greutate al corpurilor omogene este, prin urmare, cel mai ușor de determinat.

Opusul corpurilor omogene este reprezentat de așa-numitele corpuri neomogene - acestea au densități diferite în secțiuni diferite ale corpului. Acestea nu pot fi considerate mase individuale. Astfel de corpuri trebuie împărțite în mase individuale adecvate, calculate individual și în cele din urmă reconciliate în întregul sistem.

Calculul centrului maselor este important în multe aplicații de inginerie.

Un exemplu este reprezentat de conceptul unui utilaj și componentele sale: aici, centrul de greutate al componentelor trebuie selectat astfel încât întregul utilaj să fie stabil și sigur, iar componentele acestuia să fie „echilibrate corespunzător”.

Metode pentru calcularea centrului maselor

Există diverse metode pentru determinarea centrului maselor în funcție de geometrie și de modul în care masa (densitățile) este distribuită în sistem.

În cazul corpurilor omogene, centrul volumelor poate fi selectat ca centru de greutate, cu condiția ca toate densitățile să fie distribuite uniform.
Pentru corpurile neomogene, centrul maselor trebuie să fie determinat luând în considerare densitățile tuturor punctelor.

În general, centrul de greutate poate fi calculat ca suma tuturor submaselor, înmulțită cu distanțele lor respective față de origine și împărțită la masa totală. Corpul este împărțit într-un număr finit de subcantități.

Programele CAD moderne sau programele FEM (metoda elementului finit) oferă astfel de metode de calcul pentru centrul maselor ca caracteristici standard.

Centrul maselor și centrul de volum

Centrul volumului nu ia în considerare masa sau densitățile corpului. Prin urmare, centrul volumului este un caz special al centrului maselor, dat fiindă densitatea distribuită uniform în cadrul obiectului.

Calculul centrului maselor poate fi simplificat în cazul corpurilor omogene.

Efortul și utilitatea calculelor

O diviziune adecvată în mase individuale nu este întotdeauna banală - în special pentru densități distribuite neuniform. Astfel de probleme pot fi rezolvate în mod computațional și experimental. Se preconizează că acuratețea rezultatului va depinde de adâncimea de calcul fezabilă sau de acuratețea măsurătorii. Rezultatele pot fi doar aproximate - prin urmare, efortul și beneficiile trebuie evaluate.

Centrul maselor pentru corpuri omogene

Pentru corpurile omogene, cum ar fi un cuboid sau un cilindru, centrul de greutate poate fi determinat cu ușurință prin considerente geometrice.

În acest caz, se pot utiliza simetrii pentru a simplifica problema.

Centrul maselor corespunde centrului geometric de greutate și este ușor de calculat. În acest exemplu, centrul maselor este reprezentat simultan de centrul zonei circulare și de zona proiectată a dreptunghiului.

Centrul maselor pentru obiecte cu formă neregulată sau obiecte neomogene

Pentru obiectele cu formă neregulată, trebuie să se ia în considerare fiecare punct (densitatea punctului) individual, iar contribuția sa la masa totală trebuie calculată.

Această abordare se mai numește și integrare.

Poliedru cu densitate distribuită uniform

Centrul geometric de greutate al corpului este calculat prin împărțirea corpului în corpuri parțiale adecvate. Centrele de greutate ale acestor corpuri parțiale sunt calculate și apoi ponderate peste proporția suprafeței sau volumului.

Centrul de greutate geometric este reprezentat de centrul maselor.

Poliedru cu densitate distribuită neuniform

Centrul de greutate geometric al corpului cu densitate distribuită neuniform este identic cu centrul de greutate geometric al corpului cu densitate distribuită uniform.

Centrul de greutate geometric nu se află în centrul maselor.

Corpul trebuie împărțit în corpuri parțiale adecvate, iar centrele de greutate individuale ale acestora trebuie determinate în funcție de formă și de densitatea distribuită inegal.

Centrul maselor este calculat din corpurile parțiale, luând în considerare volumul corpului și mase corporale

(x_s,y_s,z_s) = \frac{1}{M}\sum_i(x_{si}, y_{si}, z_{si})\cdot m_i

M - Masa totală
m_i - Masa parțială
(x_si, y_si, z_si) - centrul de greutate al coordonatelor parțiale ale corpului 1 în sistemul de coordonate fixat spațial (x, y, z)
(x_s, y_s, z_s) - coordonatele centrului de greutate al întregului obiect din sistemul de coordonate fixat spațial (x, y, z)

Formulă explicită pentru centrul maselor

Dacă se execută defalcări progresive mai fine, volume parțiale sau mase parțiale „aproape de zero”. Ca urmare, formula de aproximare de mai sus este convertită într-o integrală.

Astfel, centrul de greutate poate fi determinat foarte precis:

x_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)xdV

y_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)ydV

z_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)zdV

M - Masa totală
p(x, y, z) - Densitatea locală a materialului
V - Volumul componentei

Centrul maselor pentru sisteme compuse

Sistemele compuse sunt alcătuite din mai multe corpuri individuale interconectate, fiecare cu propriul centru de greutate.

Pentru a găsi centrul de greutate comun al tuturor sub-obiectelor, fiecare dintre aceste puncte trebuie să fie ponderat cu masa corespunzătoare.

Exemplu de calcul: Centrul de greutate combinat a 2 subsisteme

Un sistem alcătuit din două subsisteme distincte este format dintr-un centru de greutate combinat.

x_s=\frac{x_{s1}\times m_1+x_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}

y_s=\frac{y_{s1}\times m_1+y_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}

z_s=\frac{z_{s1}\times m_1+z_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}

m₁ - Masa corpului parțial 1
(x_s1, y_s1, z_s1) - coordonatele centrului de greutate al corpului parțial 1 în sistemul de coordonate fixat spațial (x, y, z)
m₂ - Masa corpului parțial 2
(x_s2, y_s2, z_s2) - coordonatele centrului de greutate al corpului parțial 1 în sistemul de coordonate fixate spațial (x, y, z)
(x_s, y_s, z_s) - coordonatele centrului de greutate al întregului obiect din sistemul de coordonate fixat spațial (x, y, z)

Determinarea experimentală a centrului maselor

Centrul maselor poate fi, de asemenea, determinat experimental. Metodele de măsurare experimentală au unele avantaje față de calculele pur teoretice:

Acestea sunt independente de modelul materialului,
iau automat în considerare toate sursele erorii,
oferă o măsurătoare directă care nu depinde de presupuneri sau estimări.

Metodă de oscilație

Metoda de oscilație se bazează pe principiul oscilației armonice. Aceasta implică suspendarea unui obiect pe un fir subțire și îl face să oscileze. Viteza unghiulară poate fi calculată prin măsurarea duratei perioadei. Viteza unghiulară poate fi utilizată apoi pentru a determina distanța dintre punctul de suspensie și centrul maselor.

Avantaje:

Ușor de efectuat
Costuri reduse

Dezavantaje:

Potrivit numai pentru obiecte mici
Acuratețea depinde în mare măsură de persoana care efectuează sarcina

Metoda cântarului

Această metodă plasează obiectul de examinat pe un cântar cu platformă și îi măsoară greutatea. Aceeași procedură este apoi efectuată cu o a doua greutate pentru a măsura distanța dintre ambele puncte. Înmulțirea forței greutății cu distanța rezultă într-o ecuație de moment pentru determinarea centrului maselor.

Avantaje:

Precizie bună
Adecvat pentru obiecte mai mari

Dezavantaje:

Procedură complexă
Necesită echipamente scumpe

Metoda înclinării

Metoda înclinării se bazează pe principiul stabilității statice. Obiectul care urmează a fi examinat este amplasat pe o suprafață plană și testat la înclinare, prin deplasarea greutăților în diferite poziții. Centrul maselor poate fi apoi determinat prin determinarea liniei gravitaționale centrale.

Avantaje:

Ușor de efectuat
Nu necesită echipamente scumpe

Dezavantaje:

Potrivit numai pentru obiecte simetrice
Acuratețe scăzută

Articole similare

Calcule pentru proiectarea arcului

Arcurile sunt componente mecanice care pot stoca și furniza energie de tensiune generată de lucrarea utilizată pentru a tensiona, alungi sau comprima arcul sub formă de energie de deformare sau tensiune. Acestea sunt utilizate în multe aplicații și se găsesc în componente electronice mici, precum și în utilaje industriale mari. Pentru a vă asigura că un arc își îndeplinește funcția, acesta trebuie să fie proiectat corect. În acest scop, sunt calculați parametri precum constanta arcului și cursa arcului.

Construcție Cunoștințe de bază

8 Minute citite

Circuite pneumatice și diagrame de circuite pneumatice - fundamentele ingineriei fluidelor

Acest articol acoperă elementele fundamentale ale pneumaticii, circuitelor pneumatice și diagramelor de circuite pneumatice. Pneumatica este o arie a ingineriei fluidelor care se ocupă cu aerul comprimat și cu aplicarea acestuia în diferite sisteme. Tehnologia de control pneumatic este utilizată în multe domenii și sectoare, cum ar fi manipularea materialelor, robotică sau transport.

Cunoștințe de bază Pneumatica

14 Minute citite

Tutorial: Coeficienți de expansiune a materialelor - Teoria științelor materialelor

Coeficienții de expansiune a materialelor joacă un rol crucial în știința materialelor. Coeficienții de expansiune descriu modul în care dimensiunile unui material se modifică sub influența fluctuațiilor de temperatură. Acest articol oferă o introducere cuprinzătoare asupra subiectului, incluzând noțiunile de bază ale expansiunii termice, factorii de influență și diferitele metode de măsurare. De asemenea, comparăm coeficienții tipici de expansiune ai claselor de materiale și explicăm utilizările acestora în diverse industrii. În cele din urmă, abordăm stresul termic și modalitățile de a preveni deteriorarea cauzată de diferențele de temperatură din materiale.

Cunoștințe de bază

12 Minute citite

Clase de rezistență la tracțiune a șuruburilor și piulițelor din oțel inoxidabil

Rezistența la tracțiune a oțelului și a oțelului inoxidabil reprezintă un parametru critic atunci când vine vorba de capacitatea portantă și de siguranța îmbinărilor filetate. Aceasta este alcătuită din doi parametri cheie pentru șuruburile din oțel, pe baza cărora rezistența la tracțiune și rezistența la deformare plastică pot fi determinate cu ușurință. Dar, începând de la o anumită dimensiune, șuruburile din oțel inoxidabil și piulițele din oțel inoxidabil sunt marcate cu o combinație tip literă-număr (de ex. A4-80). Combinația tip literă-număr plasată în fața cratimei asociază șurubul unei grupe de material și unei grupe de oțel și oferă astfel informații despre proprietățile de bază ale materialului din care este realizat șurubul. Numărul 80 din dreapta cratimei indică clasa de rezistență. Acest articol prezintă modul de utilizare a clasei de rezistență a șuruburilor din oțel inoxidabil, pentru a determina limitele lor de utilizare și a oferi o prezentare generală a capacității portante a claselor tipice de rezistență.

Asamblare Cunoștințe de bază

10 Minute citite